Matematica liceu clasa a 9-a, probleme rezolvate Numere reale, puteri, radicali Aplicatii ale inegalitatilor. Operatii cu numere reale (19 probleme rezolvate) Partea intreaga si fractionara a unui numar real (20 probleme rezolvate) Puteri.Puteri cu exponent irational (20 probleme rezolvate) Radicali (16 probleme rezolvate) Rezolvă acest test de matematică pentru clasa a XII-a și vei verifica dacă știi să lucrezi cu inele de clase de resturi modulo n, aplicând cunoștințele teoretice și practice despre operațiile cu clase de resturi. Îți vei testa abilitățile de a determina clasa de resturi opusă față de adunare sau inversă față de înmulțire. Uneori va trebui să folosești tabla operației de înmulțire pentru a determina mulțimea elementelor inversabile într-un astfel de inel Sistem de ecuatii liniare in Z12. inversabil, nu se poate incepe cu metoda ''substitutiei''. Pastrez prima ecuatie, dar din a doua si din a treia o scad pe prima. Ele devin 4x+y-z=4, x-y+z=1; pe acestea le adun si obtin 5x=5. cu unica solutie x=1 (acum coeficientul 5 este inversabil in Z12). Inlocuiesc pe x cu 1 in una dintre aceste ecuatii si Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare. Denitia. Sistemul ordonat de n clase de resturi (C1;C2; : : : ;Cn), se numeste solutiea sistemului daca, ^nlocuind necunoscutele xi , respectiv cu Ci , i = 1; n,ecare ecuatie a sistemului se transforma ^ntr- o propozitie adevarata. Pe 26 noiembrie, prof. Mihael Mihalcea le-a propus elevilor de clasa a XII-a recapitularea cu tema: Grupul claselor de resturi modulo n. Lecțiile pot fi urmărite atât la TVR 2, de la orele 9.00 și 15.00, de luni până vineri, cât și online pe TVR+ , pe canalul de YouTube al TVR , pe pagina de Facebook a emisiunii Teleșcoala şi pe tvr.ro . Aşa cum reiese din definiţie un inel este un grup aditiv abelian şi deasemenea cu înmulţirea unui semigrup. Exemple de inele: 1) Mulţimile Z, Q, R cu operaţiile obişnuite de adunare şi înmulţire formează inele comutative şi unitare. 2) Dacă n Z este un număr întreg, atunci muţimea nZ = {nk/k Z} este inel comutativ faţă de tlMrV8G. Clase de resturi Clase de resturi O mulţime specială de obiecte matematice, pe care s-au definit două operaţii algebrice, numite adunare si înmulţire modulo n, prezintă proprietăţi interesante, cu multiple aplicaţii teoretice şi practice. Ea se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo n şi îşi are originea în teorema împărţirii cu rest în Z. Sistem de ecuatii liniare in Z12. inversabil, nu se poate incepe cu metoda ''substitutiei''. Pastrez prima ecuatie, dar din a doua si din a treia o scad pe prima. Ele devin 4x+y-z=4, x-y+z=1; pe acestea le adun si obtin 5x=5. cu unica solutie x=1 (acum coeficientul 5 este inversabil in Z12). Inlocuiesc pe x cu 1 in una dintre aceste ecuatii si Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare. Denitia. Sistemul ordonat de n clase de resturi (C1;C2; : : : ;Cn), se numeste solutiea sistemului daca, ^nlocuind necunoscutele xi , respectiv cu Ci , i = 1; n,ecare ecuatie a sistemului se transforma ^ntr- o propozitie adevarata. EXEMPLU: Pentru n = 10, multimea claselor de resturi modulo 10 este Z10 = {0 , 1 ,., 9} si n legtur cu aceast multime avem urmtoarele structuri algebrice: grupul aditiv ( Z10 , + ) ; monoidul multiplicativ ( Z10 , ) si grupul multiplicativ al elementelor inversabile din acest monoid U ( Z10 ) ={ 1 , 3 , 7, 9 } care are ordinul 4. Clase de resturi - probleme clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia 2 Probleme propuse bacalaureat 2007 1. DeterminaŃi inversul lui 3ˆ în Z 11 în raport cu operaŃia de înmulŃire. 2. a) DeterminaŃi simetricul lui 7ˆ în Z 8 în raport cu operaŃia de adunare.

multimea claselor de resturi modulo n